由于拓扑公理太弱,拓扑空间丧失了许多良好的性质。分离性和可数性常作为附加性质,来改善拓扑空间的性质,它们被称作分离公理和可数公理。
子集 的邻域 定义为 。
设 ,则 所有邻域构成的集合记为 ,称为 的邻域系。设 。若任意 的邻域 ,都存在 使得 ,则称 是 的邻域基。
- 是 的邻域基;
- 的全体开邻域构成 的邻域基;
- 对于度量空间 , 、 、 都是 的邻域基。
以下四条公理称为分离公理,其中的“邻域”可替换为“开领域”:
[ 公理] 任何两个不同点 , 有邻域不含 , 有邻域不含
[ 公理] 任何两个不同点有不相交的邻域
[ 公理] 任意一点与不含它的任一闭集有不相交的邻域
[ 公理] 任意两个不相交的闭集有不相交的邻域
其中 公理是最重要的分离公理,满足 的拓扑空间称为Hausdorff空间。
以下两条公理称为第一可数公理和第二可数公理:
[ 公理] 任一点都有可数的邻域基
[ 公理] 有可数的拓扑基
以下是一些分离公理的等价刻画。
- 满足 的单点(有限)子集都是闭集;
设 ,下证 ,从而 是闭集。事实上 , 有邻域不包含 ,于是 ,从而 。
设 ,则 是闭集, 是 的不含 的开邻域。同理 是 的不含 的开邻域,从而 满足 公理。
- 满足 任意的拓扑空间 和连续映射 ,都有 的图像 是乘积空间 的闭子集;
- 满足 的任意点 和它的开邻域 ,存在 的开邻域 使得 ;
参考(4)的证明,同理可证。
- 满足 的任意闭集 和它的开邻域 ,存在 的开邻域 使得 。
记 ,则 与 是不相交的闭集,由 可知,存在 的不相交的开邻域 。此时 ,即 就为所求。
设 与 是不相交的闭集,则 是 的开邻域,从而存在 的开邻域 使得 。记 ,则 是开集,且 ,并且 。
- (Urysohn引理) 满足 任意两个不相交的闭集 和 ,存在连续函数 在 和 上分别取值为 和 ;
- (Tietze扩张定理) 满足 定义在 的闭子集 上的连续函数 可以连续扩张到 上,即存在连续函数; ,使得 。
- 满足 是 的聚点当且仅当 的任意邻域与 的交是无穷集;
只证明必要性,充分性显然成立。设 有开邻域 使得 是有限集,记 ,则 是有限集从而是闭集,于是 也是 的开邻域,它满足 ,从而 。
- 满足 任意子集的导集是闭集;
- Hausdorff空间中的序列的极限具有唯一性。
设 ,若 ,则 和 有不相交的邻域 和 。由定义有 包含 的几乎所有项,于是 至多包含 的有限项,从而不可能有 。
下面的引理是研究可数拓扑基的常用技巧。
若 存在可数邻域基,则 存在渐缩的可数邻域基 ,即 有 。
设 是 的可数邻域基,只需令 即可。
- 满足 设 ,则 当且仅当 中存在收敛到 的序列;
- 满足 映射 在 连续当且仅当对于任意序列 有 。
- 只证明必要性,充分性显然成立。取 的可数邻域基 使得 有 。因为 ,所以对任意的 , ,取 。这样得到的 收敛于 。事实上任意 的邻域 必包含某个 ,从而 有 。
- 在第一章已经证明必要性,下证充分性。任给 的邻域 ,若 不是 的邻域,即 。根据(1),存在 中的序列 ,由条件有 。从而存在 ,当 时有 ,即 ,矛盾!
- 一种拓扑性质称为有遗传性,如果一个拓扑空间具有它蕴含子空间也具有它;
- 一种拓扑性质称为有可乘性,如果两个拓扑空间具有它蕴含乘积空间也具有它。
公理 具有遗传性和可乘性,但 不具有遗传性和可乘性。
的遗传性和可乘性由其等价刻画很容易证明。
设 ,则存在 分别是 在 中的开邻域,满足 。令 ,则 分别是 在 中的开邻域,满足 。
设 ,不妨设 。则存在 是 在 的不相交的开邻域。则 和 就是 在 的不相交的开邻域。
设 , 是 中不含 的闭集,则存在 中的闭集 使得 。由于 但 ,故 。由 可知, 在 存在不相交的开邻域 。此时 和 分别是 和 在 中的不相交的开邻域。
设 , 是它的开邻域。由乘积拓扑的定义,存在 分别是 在 中的开邻域,使得 。由 可知,存在 分别是 在 中的开邻域,使得 以及 。则 是 的开邻域,且 。
设 取拓扑 。注意到 的非空闭集都包含 ,从而都相交,因此 是 空间。它的子空间 具有拓扑 。它的两个非空闭集 没有不相交的开邻域,因此 不是 空间。
第一第二可数公理都具有遗传性和可乘性。
可分性具有可乘性,但不具有遗传性。
- 空间是 空间;
- 满足 的空间是 空间;
- 满足 的空间是 空间。
由 的等价刻画和其余公理的定义易证。
度量空间 满足 和 。
先证所有分离公理。按照定义容易证明 满足 ,只需证 也成立即可。事实上,设 是不相交的非空闭集,则有 。则连续函数 , 在 和 上分别取值为 和 ,从而由Urysohn引理知 成立。
公理成立是因为 是 的可数邻域基。
- 空间是 空间;
设 有可数拓扑基 ,则 是 的可数邻域基。
- 空间是可分空间;
设 有可数拓扑基 ,在每个 中取一点构成集合 ,则 是可数的稠密子集。事实上, ,设 是 的开邻域,由拓扑基的定义可知 一定包含了某个 ,从而 ,即 ,从而 。这就证明了 。
- 可分的度量空间是 空间。
欧氏空间 是可分的度量空间,从而满足 和 。
事实上 就是可数稠密子集。
- 所有收敛序列的极限唯一的 空间是Hausdorff空间;
若 没有不相交的开邻域。设 分别是它们的渐缩可数邻域基,则 。取 ,则 同时收敛到 。
- (Lindelof) 满足 的空间是 空间;
- (Urysohn度量化定理) 满足 和 的空间是度量空间。
设 是不可数集合,规定度量 ,则 是离散拓扑空间也是度量空间。它的任意子集 是闭集,从而 。因此它的所有可数子集都不是稠密子集,因此不可分,从而不是 空间。
中任意两个非空闭集都相交,因此它满足 。按定义容易验证它不满足 。 是可数拓扑基,因此 成立。更进一步我们得知它是可分空间。
设 是无穷集合,则 具有如下性质:
- 满足 、不满足 ;
- 可分;
- 互异点列收敛到任意点;
- 任何子集都紧致;
- 连通。
- 因为 的有限子集都是闭集,故 成立。但任意的两个不同点 的开邻域一定相交,这是因为它们都是有限子集的余集。从而 不成立,进而 也不成立。
- 的任意无穷子集 都是稠密的,这是因为任意一点 的开邻域都是有限子集的余集,必然与 相交,因此 ,从而 。因此 的任意无穷子集都是可数稠密子集,从而 可分。
- 设 是互异点列,由于 的开邻域的余集是有限集,它必然包含 的几乎所有项,因此 。
- 设 是 的非空子集, 是 在 中的开覆盖。取 ,由于 是开集,则 是有限集。 也是有限集,因此存在有限子覆盖 。于是有限子覆盖 覆盖了 。
- 任何两个非空开集你一定相交。
设 是不可数集合,则 具有如下性质:
- 满足 、不满足 ;
- 不满足 ;
- 不可分;
- 几乎全部等于 ,即 ;
- 不紧致;
- 连通。
- 与上例类似。
- 假设 是 的可数邻域基,任取 ,则 是 的邻域,从而存在某个 。从而就有 。注意到左边是一个不可数集合,右边是可数个可数集的并从而是可数集,矛盾!因此 不满足 。
- 的任意可数子集 都是闭集,因此 ,从而 不是稠密子集。这说明 没有可数的稠密子集,从而不可分。
- 充分性显然成立,只需证必要性。构造可数集 ,则 是闭集。由于 ,所以 是 的开邻域,从而由于 包含 的几乎所有项。这说明 几乎全部等于 。
- 取 的一个可数无限子集 。则 是 的开覆盖,它没有有限子覆盖。
- 任何两个非空开集你一定相交。
- 称拓扑空间 是列紧的,如果 的每个序列都有收敛的子序列;
- 称拓扑空间 是紧致的,如果 的每个开覆盖都有有限子覆盖;
- 如果拓扑空间的子集作为子空间是紧致(列紧)的,称它为紧致(列紧)子集。
定义在列紧空间 上的连续函数 有界且能取最大最小值。
若 无界,则可以找到一个序列 使得 。由列紧性, 有收敛子列,不妨其本身就收敛 ,则由连续性有 与 矛盾。设 。若 ,考虑函数 仍是 上的连续函数。且由上确界的定义可以证明 无界,从而导出矛盾。这就证明了 能取到最大值 ,最小值同理可证。
对于 空间,紧致 列紧。
- 设 ,不妨设它是互异点列,先证存在 使得它的任意邻域都含有 的无穷多项。反证法,若 ,存在 的邻域 只含有 的有限项。注意到 是一个开覆盖,由紧致性可知存在 的有限子覆盖 。这样每个 只含有 的有限项,从而 是有限集,矛盾!
- 再证存在 的子列以 为极限。设 是 的渐缩的可数拓扑基,则每个 都含有 无穷多项。取 为包含在 中的那些项中的第 个,则有 。从而 。
度量空间都是 空间,因此对于度量空间,紧致 列紧。
接下来我们证明对于度量空间,列紧 紧致。为此我们先引入“网”的概念。
设 是度量空间 的子集, 是正数。若 ,则 称为 的 -网 。这等价于 使得 ,也等价于 , 。
- 称度量空间 完全有界,如果 , 总存在有限的 -网;
- 称度量空间 有界,如果 使得
显然完全有界蕴含了有界,事实上 ,其中 表示 的元素个数。
对于度量空间,完全有界 。
对于度量空间,列紧 完全有界。
若不然, 使得 的任意有限子集 都不是 -网 ,即 使得 。任意取定 ,归纳假设 已经取好,将 看作上面的 ,则可再取 使得 。这样得到的 满足 ,因此它不可能有收敛子列,矛盾。
反之不对,例如 作为欧式空间的子空间是完全有界的,显然它不列紧。
设 是列紧度量空间 的开覆盖,满足 ,则 是 的连续函数,它在 上的最小值是一个正数,记作 ,称为开覆盖 的Lebesgue数。
由于列紧的度量空间有界, 使得 。容易证明 ,因此 是良好定义的。
由于 , ,取上确界,则有 。同理有 。因此 ,从而 连续。 由连续函数在列紧空间的最值定理可知 是良好定义的。
设 是列紧度量空间 的开覆盖,则任取 和 ,存在 使得 。
,则 ,因此由上确界的定义,存在 使得 ,从而 。
对于度量空间,列紧 紧致。
设 是列紧度量空间 的开覆盖,下证它有有限子覆盖。取 ,由列紧度量空间的全有界性,存在有限 -网 ,于是 。由Lebesgue引理,对每个 ,都存在 使得 ,从而 是有限子覆盖。
由此我们就得到了此部分的主要结论
设 是度量空间,则 是紧致子集 是列紧子集 是有界闭集
第一个等价前面已经证明。若 是列紧子集,前面已经证明 有界。任给 ,由 空间的性质知,存在 中的序列 收敛到 。由列紧性可知 有收敛子列 ,又因为 以及Hausdorff空间中极限的唯一性, 。这就证明了 ,从而 是 的有界闭集。
- 这里 的闭集可以由后面的命题:Hausdorff空间的紧致子集是闭集 直接得到;
- 是 的有界闭集 作为子空间列紧:
反例1:无穷集合的离散拓扑是自身的有界闭集,它的每一个点放在一起构成一个没有有限子覆盖的开覆盖。
反例2:Hilbert空间 的单位正交基 构成的子集是有界闭集。但它作为序列满足 ,因此不可能有收敛的子列。
子空间的开覆盖可以在更大的空间中考虑。具体来说,若 中的一个开集族 如果满足 ,则称 是 在 中的开覆盖。
是 的紧致子集 在 中的任何开覆盖都有有限子覆盖。
设 是紧致空间, 是闭集,则 是紧致子集。
设 是紧致空间, 是闭集。设 是 在 中的开覆盖,因为 是开集,所以 是 的开覆盖。由于 紧致,存在有限开覆盖 ,则 是 在 中的开覆盖。
欧氏空间的子集 是紧致子集 是列紧子集 是有界闭集。
根据Thm1,只需证明若 是有界闭集,则 是紧致子集即可。事实上,由于 是有界闭集,从而 可以包含于某个闭矩体。由数学分析的知识可知闭矩体都是紧致的,因此由上面的命题,它的闭子集 也是紧致的。
设 是连续映射,则 把 的紧致子集映成 的紧致子集。
设 是紧致子集,下证 是 的紧致子集。设 是 在 中的开覆盖,则 是 在 中的开覆盖,从而有有限子覆盖使得 ,则 ,这就是说 是 在 中的有限子覆盖。
定义在紧致空间 上的连续函数 有界且能取最大最小值。
由上面的命题可知 是度量空间 中的紧致子集,从而是有界闭集,从而 包含了它的上下确界。因此 有界且能取最大最小值。
- 设 是Hausdorff空间 的紧致子集, ,则 与 有不相交的开邻域;
- 设 是Hausdorff空间 的不相交的紧致子集,则 有不相交的开邻域。
- ,则 ,由 公理, 有不相交的开邻域 。这样 是 的开覆盖,有有限子覆盖 。令 和 ,则它们分别是 和 的开邻域, 。
- ,则 与 有不相交的开邻域 。这样 是 的开覆盖,有有限子覆盖 。令 和 ,则它们分别是 和 的开邻域, 。
设 是Hausdorff空间 的紧致子集,则 是闭集。
, 有邻域与 不相交,因此 ,这说明 。
若去掉Hausdorff空间的条件,一般不对:
反例1:无穷集合的余有限拓扑的任何子集都是紧致子集(参看§1.6)它的无穷真子集紧致但非闭。
反例2: 取拓扑 。有限的拓扑空间总是紧致的,它的紧致子集 不是闭集。
紧致Hausdorff空间的紧致子集等价于闭集。
紧致Hausdorff空间满足 公理。
只需证满足 公理。设 是紧致Hausdorff空间 的不相交的闭集,则由上述命题可知 是不相交的紧致子集,从而有不相交的开邻域。
- 设 是紧致空间, 是Hausdorff空间, 是连续映射,则 是闭映射;
- 特别地,如果 是连续的双射,则 是同胚映射。
设 是紧致空间 的闭集,则由上面的命题可知 是紧致子集,因此 是 的紧致子集,从而是闭集。从而 把闭集映成闭集,从而是闭映射。
紧致性没有遗传性,本小节来证明其有可乘性。
设 是 的紧致子集, ,在乘积空间中 是 的邻域,则存在 和 的开邻域使得 。
,则 是 的内点,从而存在 和 的开邻域 和 使得 。注意到 是 的开覆盖,由紧致性,存在有限子覆盖 。则 和 分别是 和 的开邻域,并且满足 。
若 紧致,则有 也紧致。
设 是 的开覆盖。 ,由于 ,从而是紧致的。 是它在 中的开覆盖,从而存在有限子覆盖,设这个有限子覆盖的并集是 ,则 。由上述命题可知,存在 的开邻域 使得 。于是 是 的开覆盖,由紧致性,存在有限子覆盖 。则 被 中有限个成员覆盖了。
设 是非紧致的Hausdorff空间。在 中添加一个元素 得到集合 。规定 ,则
- 是 上的拓扑,且 作为 的子集的子空间拓扑就是 ;
- 是 的稠密子集;
- 是紧致的,称为 的一点紧致化。
称 是交换幺环,如果:
- 是交换群;
- 满足交换律 和结合律 ;
- 满足分配率 。
称 是 的理想,如果:
- 是 的子群;
- 。
称 是 的素理想,如果:
- 是 的真理想,即 ;
- 或 。
对于两个理想 ,有
- ;
- 无穷个理想的和 ;
- 。
的全体素理想的集合称为谱(Spectrum),记作 。
在整数的加法和乘法下是交换幺环, 是一个理想, 是一个素理想, 的谱是 。
设 是交换幺环。对于任意的理想 ,定义 作为闭子集,从而得到子集族 。则 是 的拓扑,称为Zariski拓扑
- ,这是因为素理想都是真理想,不可能包含 。 ,这是因为所有理想都包含零元。
- 利用下面的引理可以证明,任意闭集的交是闭集以及两个闭集的并是闭集。
- ;
- 。
- ,则 ,即 。注意到同时包含全体 的最小的理想是 ,所以 ,所以 ,这就证明了 。另一方面, ,则 。由于 ,所以也有 。这就证明了 。
- ,则 。由于 ,从而 ,这就证明了 。另一方面, ,则 。若 ,则 使得 。 则 。由于 是素理想, ,从而 。这就证明了 。即 。这就证明了 。
- 非Hausdorff空间;
- 是紧致空间。
- 设 是 中的元素,假设它们存在不相交的开邻域 和 。则 。由于 是闭集,可设 ,从而 。从而有 ,这说明 。但是 ,从而 ,矛盾!
- 设 是 的开覆盖,即 。设 ,从而 。我们断言 。这是因为若 是真理想,则 一定包含于一个极大理想 当中,而极大理想都是素理想,所以 ,矛盾! 存在有限个 使得 ,从而 ,这是因为包含单位元的理想一定是环本身。从而得到了 的有限开覆盖 。
如果 都有紧致邻域,则称 是局部紧致空间。
下面的命题留作备用,不作为考试内容。
设 是局部紧致的Hausdorff空间,则
- 满足 公理;
- 中每一点的所有紧致邻域构成邻域基,即对于 的任意邻域 都存在 的紧致邻域 ;
- 的开集也是局部紧致的。
如果拓扑空间 不能分解为两个非空开集的并,则称 是连通空间。若 作为子空间是连通空间,则称 是 的连通子集。
容易证明 连通等价于:
- 不能分解为两个非空闭集的并;
- 没有既开又闭的非空真子集;
- 的既开又闭自己只有 和 。
- 设 是无穷集合,则 是连通空间;
- 设 是不可数集合,则 是连通空间;
- 设 是交换幺环,则Zariski拓扑 是连通空间。
因为它们的任意两个非空开集一定相交。
是连通空间。
设 是非空真闭集,下证 不是开集。不妨设 但 但含有正数,由确界原理可知 。由于 是闭集,我们有 。但是由下确界的性质可知 ,从而 ,这说明 不是开集。
设 是连续映射,则 把 的连通子集映成 的连通子集。
设 是连通子集,下证 是 的连通子集。设 是 的既开又闭非空子集,则 是 中的既开又闭非空子集。由 的连通性可知 ,从而 。这说明 中没有既开又闭的非空真子集,从而连通。
再由同胚的定义容易证明,连通性是同胚不变量。
是连通空间。
是 的连续函数。
的凸子集称为区间(即 )。设 ,则 连通 是区间。
若 不是区间,则存在实数 使得 但 。则 ,从而 不连通。
若 是区间,即 是凸子集,容易证明 是下列几种形式之一: ,其中 ,对于 也允许 。 连通。 是 的连续满射,因此 连通。 是 的连续满射,因此 连通。
定义在连通空间 上的连续函数 具有介值性,即其像集是区间。
下面的引理在证明连通性时十分好用。
设 是 的既开又闭子集, 是 的连通子集,则或者 ,或者 。
注意到 是 的既开又闭非空子集,则 是 的既开又闭子集。
若 有连通稠密子集,则 连通。
设 是 的连通稠密子集。设 是 的既开又闭非空子集。因为 稠密,由稠密子集的充要条件, 的任意非空开集与 相交非空,由引理可知 。于是 。
若 是 的连通子集,并且 ,则 连通。利用这个推论,也可以证明 中区间都连通。
设 , , ,则 连通。
首先由于 , 是连通子集。又由于 ,所以 是 的连通稠密子集,由上述命题可知 稠密。
若存在 的连通覆盖(每个成员都是连通子集) 和连通子集 使得 ,则 连通。
设 是 的既开又闭子集,下证 或 。事实上,由引理可知 或 成立。
若 。 ,从而有 ,再次利用引理就有 。则 。
若 。则类似有 ,由引理有 。从而 。
由定理可知,两个连通子集的有交并是连通子集。
利用这个定理,我们可以证明如下结论。
- 是连通空间;
- 是连通空间。
- 只证 ,其余可用归纳法证明。由于 是 的连通覆盖,它的每一个成员与连通子集 相交非空,由定理即证。
- 由于 是连通子集,容易证明它也是稠密的,所以 连通。
连通性具有可乘性。
设 都是连通空间。取 ,则 是 的连通覆盖,它的每一个成员与连通子集 相交非空,由定理即证。
设 是连通子集,若对于任意包含 的连通子集 都有 ,则称 是 的一个连通分支。换句话说连通分支就是极大连通子集。
- 的任意非空连通子集包含于一个唯一的连通分支中;
- 可以唯一地分解为连通分支的无交并;
- 连通分支是闭集。
- 设 是非空连通子集,令 。因为至少 , 非空。令 ,容易证明 就是唯一的连通分支。
- 由于 的每一点作为子空间都是连通的, 包含于唯一的连通分支中。
- 这是因为设 是连通分支,则 也连通。
拓扑空间 的连通分支无交分解诱导了 上的一个等价关系: 属于同一个连通分支。
拓扑空间 上的一条道路指的是一个连续映射 。 和 分别称为起点和终点。特别地,常值函数 称为一个点道路。 起点和终点相同的道路称为一个闭路。点道路是闭路。定义道路的运算如下:
- 设 是道路,定义 的逆为 ;
- 设道路 满足 ,定义它们的乘积为 。由粘连定理可知 连续,从而是道路。
如果 都存在分别以 为起点和终点的道路,则称 是道路连通空间。若 作为子空间是道路连通空间,则称 是 的道路连通子集。
显然 中的凸集是道路连通的。
非道路连通。
为区别点和区间,用下标 表示点。假设存在道路使得 和 ,我们来导出矛盾。首先由 的连续性可知 是 的闭集。由确界原理,它有上确界 并且 ,即 。不妨设 。
由 连续性,存在 使得 都有 。引入投影映射 将点映成它的横坐标。显然 连续,则 也连续,所以 是一个区间。它含有 和 (由 的定义),所以 。取充分大的 使得 ,则存在 使得 ,但是 ,矛盾!
设 是连续映射,则 把 的道路连通子集映成 的道路连通子集。
设 是道路连通子集,下证 是 的道路连通子集。设 是 中两点,取 。由 的道路连通性可知,存在 中道路 使得 。注意到 是 中的道路,而且 。
若存在 的道路连通覆盖(每个成员都是道路连通子集) 和道路连通子集 使得 ,则 道路连通。
,则存在 使得 。取 。由道路连通性,存在道路 连接 、 连接 、 连接 。将他们看作 中的道路,则它们的乘积 是连接 的道路。
由定理可知,两个道路连通子集的有交并是道路连通子集。
设 是道路连通空间,则 也是连通空间。
道路的像集是连通的,因此 中任意两点都属于同一个连通子集中。这说明 只有一个连通分支。
道路连通性具有可乘性。
在拓扑空间 中定义二元关系: 可用道路相连,容易证明这是一个等价关系。 在等价关系 下分成的等价类称为道路连通分支,简称道路分支。显然 中的任意道路连通子集都属于唯一的道路分支。
- 道路分支是道路连通子集;
- 对于任意包含道路分支 的道路连通子集 ,有 ;
- 连通分支是一些道路分支的无交并。
- 有定义可知,对于道路分支 中任意两点,都存在 中的道路 连接它们。由前面的命题可知 道路连通,从而它必含于 中。也就是说 也是 中的道路。
- 取定 。则 ,存在 中的道路连接 。这说明 ,从而 。这就证明了 。
- 因为道路分支都是连通子集,因此必包含于某个连通分支当中。由道路分支和连通分支的唯一性即证。
如果 中每一点的所有(道路)连通邻域构成邻域基,即对于 的任意邻域 都存在 的(道路)连通邻域 ,则称 是局部(道路)连通空间。
局部(道路)连通 的任意开集作为子空间的(道路)连通分支都是开集(由于开集可以传递开集,这里不必区分是谁的开集)。
设 是开集, 是(道路)连通分支,下证 是开集。任取 ,则 是 开邻域。由于 局部(道路)连通,存在 的(道路)连通邻域 。注意到 非空,所以 (道路)连通。由于 ,由(道路)连通分支的极大性可知 ,即 。这就说明了 中每一点都是内点,从而是开集。
任取 和它的任意开邻域 。由条件可知 作为子空间的包含 的(道路)连通分支 是开集,从而是 的(道路)连通开邻域。
- 从充分性可以看出, 局部(道路)连通的定义也等价于: 中每一点的所有(道路)连通开邻域构成邻域基;
- 局部(道路)连通空间的开集作为子空间是局部(道路)连通的。
若 是局部(道路)连通空间,则 的(道路)连通分支是既开又闭的。
由上述命题可知, 的(道路)连通分支是开集。前面已经证明连通分支都是闭集,从而是既开又闭的。但是道路分支不一定都是闭集,因此不能用这种方式证明。注意到任意道路分支 的余集 是一些道路分支的并集,因此是开集,于是 是闭集。
若 是局部道路连通空间,则 的连通分支就是道路分支。因此当 连通时,它一定道路连通。
设 是连通分支, 是道路分支,则 是 的既开又闭非空子集,从而 。
按定义,显然欧氏空间 是局部道路连通的,从而任意开集 也是局部道路连通的,因此 连通蕴含了道路连通。这说明区域(连通的开集)是道路连通的。
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